数字を並べ替えて最大値から最小値を引くと元の数に戻る
不思議な数字の現象があります。ここに、３桁の任意の数字があるとします。
とりあえず、３９７。
この中の数字を並べ替えて最大の数値と最小の数値を作成します。
最大：９７３ 最小：３７９
この差（最大−最小）をとると
差：５９４
となります。
この操作を繰り返していきます。
| 元の数値 |
最大 |
最小 |
差 |
| ３９７ | ９７３ | ３７９ | ５９４ |
| ５９４ | ９５４ | ４５９ | ４９５ |
| ４９５ | ９５４ | ４５９ | ４９５ |
あら不思議！
差が４９５で収束してしまいました。
これは他の３桁の数値から始めても４９５に収束します。
手計算は面倒なので、エクセルに数式を設定して確認してみましょう。
おみごと！
ただし、全て同じ数字の場合、１回目で差が０
構成する数値の差が１の場合は２回目の操作で０になります。
ここで定義
整数の桁を並べ替えて、最大にしたもの
から最小にしたものの差を取る。
この操作によって一回目に元の値に等しくなる数を カプレカ定数(Kaprecar's constant) と 定義します。
さて、これだけでしょうか？
ここから、エクセルの数式だけでは手に負えないので、VBAを使用します。
１千万まで調べても、４個しか登場しませんでした。
ちなみに、次の数は、
63,317,664 , 97,508,421 , 554,999,445 , 864,197,532 , 6,333,176,664 …
だそうです。
なんと、稀少な数値！
使用したVBAコード
Dim 中止 As Boolean
Private Sub cmdGo1_Click()
'
' カプレカ数１を求める
'
Dim n As Long
Dim nl As Long, nr As Long
Dim r As Integer
Dim Ln As Integer
Dim i As Integer
Dim w() As String
Dim tmp1 As String, tmp2 As String
中止 = False
r = 0
n = 1
Range(Range("RESULT1"), Range("RESULT1").End(xlDown)).ClearContents
Do
Ln = Len(CStr(n))
ReDim w(Ln - 1)
For i = 1 To Ln
w(i - 1) = Mid(CStr(n), i, 1)
Next i
MySort w, 1
tmp1 = "": tmp2 = ""
For i = 1 To Ln
tmp1 = tmp1 & w(i - 1)
tmp2 = tmp2 & w(Ln - i)
Next i
nl = Val(tmp1)
nr = Val(tmp2)
If n = (nl - nr) Then
r = r + 1
Range("RESULT1").Cells(r, 1) = n
End If
n = n + 1
If n Mod 10000 = 0 Then
Range("COUNTER1").Value = n
DoEvents
End If
Loop While Not 中止
End Sub
Private Sub MySort(ByRef w() As String, Order As Integer)
'
' ソート： Order:1 昇順 -1:降順
'
Dim i As Integer, k As Integer
Dim tmp As String
Dim LB As Integer '配列の最小
Dim UB As Integer ' 最大
LB = LBound(w): UB = UBound(w)
For i = LB + 1 To UB
For k = i To LB + 1 Step -1
If Order * StrComp(w(k), w(k - 1)) > 0 Then
tmp = w(k - 1)
w(k - 1) = w(k)
w(k) = tmp
End If
Next k
Next i
End Sub
Private Sub cmdStop1_Click()
中止 = True
End Sub
証明もどき
（３桁の数の場合）
３桁の数 ａｂｃ （９≧ａ≧ｂ≧ｃ≧０）とします。
ａｂｃの並び順は考慮不要（どうせ最大、最小の数値を作るときに並べ替える）
この数値にカプレカ操作を行います。
すなわち、最大値−最小値
ａｂｃ - ｃｂａ = ＸＹＺ （各桁をＸ，Ｙ，Ｚとします）
ここで、
■ ａ＝ｃ の場合
これは、９≧ａ≧ｂ≧ｃ≧０ なので、ａ＝ｂ＝ｃ である。
すなわち、差は０となり、元の値には戻らない。カプレカ定数ではない。
■ ａ＝ｃ＋１ の場合
Ｚ＝１０＋ｃ−ａ = １０＋ｃ−（ｃ＋１）＝９ 上位桁からの借り a>c から
Ｙ＝１０＋ｂ−１−ｂ＝９ 上位桁からの借りと下位桁への貸し
Ｘ＝ａ−１−ｃ ＝ ｃ＋１−１−ｃ ＝０ 下位桁への貸し
差は９９になり、次のステップで差は０になる。カプレカ数ではない。
■ ａ＞（ｃ＋１） の場合
Ｚ＝１０＋ｃ−ａ 上位桁からの借り a>c から
Ｙ＝１０＋ｂ−１−ｂ＝９ 上位桁からの借りと下位桁への貸し
Ｘ＝ａ−１−ｃ 下位桁への貸し
このとき、ＸＹＺがａ，ｂ，ｃで作られる元の値に戻るとすると、
Ｙ＝９なので最大値、すなわち、Ｙ＝ａ となる。
よって、（X，Y，Z）＝（ｂ，ａ，ｃ） または （ｃ，ａ，ｂ） である。
（Ｘ，Ｙ，Ｚ）＝（ｂ，ａ，ｃ） のとき、 １０＋ｃ−ａ＝ｃ， ａ＝９ なので １＝０ となり、矛盾する。
（Ｘ，Ｙ，Ｚ）＝（ｃ，ａ，ｂ） のとき、 ａ−１−ｃ＝ｃ， ａ＝９， １０＋ｃ−ａ＝ｂ
これを解くと、 ａ＝９， ｂ＝５， ｃ＝４ となる。
これから、Ｘ＝ａ−１−ｃ＝４ 、 Ｙ＝９、 Ｚ＝１０＋ｃ−ａ＝５
従って、差が ４９５ になると、以後繰り返す。
結論：
９≧ａ≧ｂ≧ｃ≧０、（ａ＞ｃ＋１） の３つの整数ａ，ｂ，ｃで作られる整数に於いて
最大値から最小値を引く操作で出来る数値は、４９５に収束する。
ａｂｃの順序で並んでいる場合、二回目の操作で４９５になる。
もっとも、このように３桁や４桁、５桁を証明しても意味はないでしょう。
なぜなら、桁数を限定したら有限の個数なので、論理証明せずとも、全て計算するだけで証明できますからね！
任意の桁数で、収束（またはループ）し、その値と桁数の関係を導き出せれば意味がありますが、
算数力が弱い自分では、全く歯が立ちそうにありません。
どなたか、挑戦してください！
