セル・オートマトン

状態モデル

ルール９０セル・オートマトン

現在状態	111	110	101	100	011	010	001	000
中央のセルの新たな状態	0	1	0	1	1	0	1	0

今、隣り合う３つのセル状態値と、その中央のセルの新たな状態値を考えます。

上記の例は、左から順に中央のセルの注目すると
　現在の値が１、左右のセルの値が１であれば、次の状態値は０
　現在の値が１、左のセル値が１、右のセル値が０の場合、次の状態値は１
　現在の値が０、左のセル値が１、右のセル値が１の場合、次の状態値は０
　現在の値が０、左のセル値が１、右のセル値が０の場合、次の状態値は１
　・・・・・・・・・
となることを意味しています。

色を付けて表すと


「ルール９０」とは、状態表の「０１０１１０１０」を２進数と考えた場合に ９０（0x128+1x64+0x32+1x16+1x8+0x4+2x1+1x0）になることから命名されています。

あたらな状態値を現在値として次の状態値を考えていくと、初期値の状態によって決定される複雑なパターンが表れてきます。

使用方法

モデル例

下図の最上段を初期値として、ルール９０を順に適用していくと

このようなパターンが出来上がります。
ここでは判り易いように、状態値が「１」のセルには色を付けてあります。

もう少し範囲を広げると


かなり複雑なパターンです。

お気づきのように、これは、同じパターンが小さいサイズから大きいサイズまで繰り返し現れる「フ ラクタル（自己相似）」図形となっています。

これは、「シェ ルビンスキーのギャスケット」とも呼ばれる図形と同じものを生成します。

計算式

左、中央、右のセルの値を２進数３桁に見立てて計算しま す。

下図の「BX4」（○印） に注目すると、左、自分、右のセルは
１、空白、空白　となり、空白を「０」と見なすと「１００」

これを２進数と見立てて、１０進数に直すと「４」となります。



この「４」の値をる「RULE」表に当てはめる（INDEX関数）と、表から「１」 が得られます。
（「RULE」は、「規則」シートのＥ３：Ｅ１０に付けた名前−下図）


よって、次の状態値（５行目「BX5」）は「１」となります。
これをすべてのセルに適用していきます。

なお、上図で着色されているのは以下の条件付書式で、セルの値が「１」の場合に セルの色を「緑」にしています。

シート説明

上段（２行目）のチェックボックスは「RULE」表と連動　　
チェックが入っている場合「１」を表します。

最上段の行に直接「１」を入力しても可

「ランダム配置」を押すと初期値（４行目）の値をランダムに配置
「A4」の値は、初期値を「１」にするセルの比率を表します。
「１」にすると初期値は全て「１」、「０」にすると「０」、０．２にすると１／５が「１」になります。

初期値が複数あると、とても複雑なフラクタル模様が出来ます。

消す時には「クリア」ボタンを押すか、４行目C列以降右側を選択して「Delete」キーを押下。




補足：数式保護のために「シートの保護」が設定されています。

ルールパターン

単一の初期値

生物界において、セル・オートマントン状の模様の貝がいます。 左図は巻貝の一種、イモガイ 貝殻の辺縁に狭い帯状に色素細胞がある。各色素細胞は活性化されると色素を分泌し、同時に近傍の色素細胞の活性化を阻害するようになっており、天然のセル・オートマトンの規則のように作用する。この色素細胞の帯が貝殻に色の模様を残しつつ、少しずつ貝殻が成長していく。--- ウィキペディアより

複数の初期値

VBAコード

パターン作成ではVBAは使用していません。
純粋にエクセル標準式のみで作成できます。

ここで使用しているVBAは、初期値の「ランダム配置」においてのみ。
特に必須という機能ではありません。

Private Sub cmdRandom_Click()

    Dim intRatio As Single
    Dim InitArea As Range
    Dim MyCell As Range
    
    Dim i As Integer

    Set InitArea = Range("InitArea")
    InitArea.ClearContents
    
    Application.Calculation = xlCalculationManual
    
    intRatio = Val(Range("Ratio"))
    For Each MyCell In InitArea
        If Rnd <= intRatio Then
            MyCell.Value = 1
        End If
    Next

    Application.Calculation = xlCalculationAutomatic

End Sub

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